Jesteś tutaj:

Geometria soczewek

Dodano: 11 kwietnia 2011 (poniedziałek), 14:32

Wczoraj uderzył do mnie qmpel, Łukasz, bym pomógł mu rozwiązać problem fizyczny z optyki (wiesz, soczewki i te sprawy... ;-J ). Oto treść tego zadania w takiej postaci, w jakiej podał mi go qmpel:

Mamy sobie obiekt, soczewkę i obraz rzeczywisty. Odległość między obiektem a obrazem to 1 metr, a powiększenie wynosi 5 razy. Jaka jest ogniskowa tej soczewki?

Qmpel nie wiedział, jak to zadanie rozwiązać; nie znał też żadnych wzorów, które mogłyby mu w tym pomóc. Jednak gdy narysowałem sobie rysunek ilustrujący ten problem, stwierdziłem, że żadne wzory nie są nam potrzebne! :-) Nie będziemy też musieli znać żadnych fizycznych właściwości soczewki, takich jak współczynnik załamania światła między szkłem a powietrzem. Nie musimy znać nawet prawa załamania światła, ani żadnych wzorów z nim związanych! :-D Jedyne, czego nam trzeba, to odrobina geometrii :-)

Jeden obraz wart tysiąc słów

Zobaczmy więc jak to wygląda na rysunku (patrz obok):

Rysunek soczewki, obiektu, jego obrazu, oraz linii prostych, wzdłuż których biegną promienie światła.

Dla swojej wygody na rysunku umieściłem siatkę, by ułatwić dostrzeżenie proporcji geometrycznych (w rzeczywistości rysowałem w zeszycie w kratkę).

Najpierw narysowałem poziomą linię – oś optyczną, a na niej soczewkę wyrównaną do siatki. Następnie narysowałem obiekt jako jednostkową strzałkę w odległości jednej kratki na lewo od środka soczewki. Dlaczego jednostkowa strzałka w odległości jednostkowej? Żeby proporcje wyszły nam prostsze i bardziej oczywiste :-)

Z czubka strzałki-obiektu wyprowadziłem dwie linie proste (promienie światła) w stronę soczewki: jeden poziomo, równole do osi optycznej, drugi prosto przez środek soczewki i dalej.

Teraz kolej na narysowanie obrazu, który ma być 5 razy większy od oryginalnego obiektu. Na moim rysunku będzie więc mieć dokładnie 5 kratek długości. Jego czubek musi dotykać linii, która wyszła z czubka oryginału i przeszła przez środek soczewki, ponieważ jest to światło wysłane z czubka i na obrazie też musi trafić w czubek. Umieściłem strzałkę obrazu w takim miejscu, by miała długość 5 kratek i stykała się z tą linią.

Odległość soczewki od obrazu

Przyjrzyj się teraz uważnie tej linii, która przechodzi przez środek soczewki. Dzięki niej możemy się dowiedzieć, w jakim miejscu środek soczewki dzieli odległość od obiektu do obrazu; czyli jaki jest stosunek odległości obiektu od soczewki do odległości obrazu od soczewki.

Rysunek soczewki, pierwsze trójkąty podobne.

Aby się tego dowiedzieć, wystarczy zauważyć, że mamy tam dwa trójkąty podobne! :-) Jeden z nich jest wyznaczony między czubkiem strzałki obrazu, jej ogonkiem, oraz środkiem soczewki. Drugi znajduje się między czubkiem strzałki obrazu, jej ogonkiem, oraz środkiem soczewki. Wiemy, że oba trójkąty są podobne, ponieważ mają dokładnie te same kąty, tylko jeden z nich jest większą/przeskalowaną wersją pierwszego.

Ile razy większą?
Ano wystarczy przyjrzeć się bokom leżącym wzdłuż strzałek :-) Strzałka obrazu jest 5 razy większa od oryginalnej strzałki, więc cały trójkąt też jest 5 razy większy. To oznacza, że pozostałe boki też są w stosunku 1:5. Czyli odległosć od środka soczewki do obrazu jest 5 razy większa, niż odległość od środka soczewki do oryginalnej strzałki. Widać to również na rysunku, jeśli policzysz kratki: jedna kratka między obiektem a soczewką, pięć kratek między soczewką a obrazem. W sumie 6 kratek.

Wiemy z treści zadania, że odległość między obiektem a obrazem to 1 metr. To znaczy, że jeśli ten metr podzielimy kratkami jak na rysunku na 6 równych części, każda część będzie miała 1/6 metra. Soczewka znajdzie się w odległości 1/6 metra od oryginału i 5/6 metra od obrazu. Tym sposobem znamy już odległość soczewki od każdego z nich w metrach. Pozostało znaleźć odległość ogniska (czerwony punkt) od soczewki, czyli ogniskową.

Odległość ogniska od soczewki

Druga linia (promień światła), która wyszła z czubka obiektu i biegła poziomo, po czym wpadła na soczewkę, również musi trafić w to samo miejsce obrazu (czyli czubek). Właśnie dzięki temu nie musimy znać współczynnika załamania światła – po prostu wiemy, gdzie to światło ostatecznie musi trafić ;-J

To właśnie ta linia przechodzi przez ognisko soczewki – miejsce, w którym ta linia przecina oś optyczną. Jak znaleźć to miejsce?

Rysunek soczewki, kolejne trójkąty podobne.

Przypomnij sobie, że rzuciliśmy obraz obiektu równolegle na soczewkę, a więc w miejscu, w którym jest soczewka, będzie on miał tę samą wysokość: jednostkową. W tym miejscu promień światła załamuje się i biegnie poprzez ognisko dalej, by spotkać się z poprzednim promieniem (tym przechodzącym przez środek soczewki) w miejscu, gdzie jest czubek strzałki obrazu.

Możemy zauważyć, że znów otrzymaliśmy trójkąty podobne! Tym razem pierwszy z nich jest rozpięty między czubkiem i ogonkiem obrazu pokrywającego się z soczewką a ogniskiem, natomiast drugi jest rozpięty między ogniskiem a czubkiem i ogonkiem obrazu leżącego poza soczewką. Widać też, że (podobnie jak wcześniej) jeden z boków (ten leżący wzdłuż strzałki obrazu poza soczewką) jest 5 razy dłuższy od drugiego (tego jednostkowego, leżącego wzdłuż strzałki w soczewce), więc ponownie oba trójkąty będą w stosunku 1:5. Skoro tak, to ognisko musi także dzielić oś optyczną między soczewką a obrazem w stosunku 1:5, czyli tak, by odległość obrazu od ogniska była 5 razy większa od odległości ogniska od soczewki.

Wiemy już, że cała długość między soczewką a obrazem to 5/6 metra. Musimy podzielić ją dalej na 6 kolejnych części, by ognisko umieścić w odległości jednej takiej części od soczewki, a obraz pięć takich części dalej. Wtedy dostaniemy stosunek 1:5. No więc podzielmy 5/6 metra na dalsze 6 części: 5/6/6 (pięć podzielone na 6 i jeszcze raz na 6) daje nam 5/36 metra i to jest długość jednej części. Ognisko jest w odległości jednej takiej części od soczewki, więc tym sposobem dostajemy ostateczne rozwiązanie! Oto ono:

Ognisko znajduje się w odległości 5/36 metra od soczewki.

Prawda, że to było proste?! :-D I nie potrzebowaliśmy do tego żadnych wzorów ani współczynników załamania światła! Jedynie czystą wiedzę geometryczną :-)

Oto, jak geometria może nam się przydać w życiu. Pamiętaj o tym następnym razem, gdy będziesz budować lunetę, aparat fotograficzny albo mikroskop ;-)

Co dalej?

Do tematu geometrii soczewek i innych przyrządów optycznych jeszcze wrócimy. Zobaczysz wtedy, że soczewki nie są tu wyjątkiem. Gdy przyjrzysz się dokładniej wzorom z optyki, jakie można znaleźć w podręcznikach, to zobaczysz, że wzory dla soczewek są dokładnie takie same, jak dla zwierciadeł płaskich i wypukłych. To nie może być przypadek! :-> Zobaczysz, że wynika to z faktu, że wszystkie te przyrządy optyczne rządzą się dokładnie tymi samymi prawami geometrycznymi. Zobaczysz też, że geometria ta jest po prostu pitagorejską średnią harmoniczną. Ale o tym wszystkim następnym razem...