Jesteś tutaj:

Kwadraty i pierwiastki kwadratowe

Dodano: 9 kwietnia 2011 (środa), 21:28. Aktualizacja: 11 listopada 2011 (piątek), 18:16

Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek, dlaczego gdy podnosimy coś do drugiej potęgi, to mówimy, że podnosimy "do kwadratu"?

Liczby kwadratowe

Pitagorejczycy wierzyli, że wszystko jest liczbą. W sensie, że wszystko we Wszechświecie można wyrazić i opisać za pomocą liczb. Kojarzyli też liczby z określonymi kształtami. Tak więc gdy mówili o kwadracie jakiejś liczby, to mieli na myśli dosłownie kwadrat jako kształt geometryczny – budowali kwadrat o boku mającym daną długość, odpowiadającą pewnej liczbie, a pole tego kwadratu dawało wynik: kwadrat tej liczby.

Jednak oprócz kwadratów i sześcianów liczb znali także liczby trójkątne, pięciokątne, sześciokątne itp. Jest to ciekawy temat i jeszcze do niego wrócimy. W tym artykule zajmiemy się jednak narazie tylko kwadratami.

Oto, jak wygląda kilka pierwszych idealnych kwadratów (czyli takich, których bok jest liczbą całkowitą):

Kilka pierwszych idealnych kwadratów.

Czerwone liczby pod każdym z kwadratów są równe polu powierzchni poszczególnych kwadratów. Powstają one przez pomnożenie boku każdego kwadratu przez samego siebie. Bok kwadratu nazywamy jego pierwiastkiem. Tak oto mamy geometrycznie przedstawione powiązanie między drugą potęgą (kwadratem) a pierwiastkiem kwadratowym! :-)

Podnoszenie do kwadratu oznacza więc mnożenie liczby reprezentującej bok kwadratu przez samą siebie (czyli jej własną wielokrotność) i geometrycznie tworzy nam zawsze kształt kwadratu, którego pole jest wynikiem:

Wzór (1)
Podnoszenie do kwadratu.

Wyciąganie pierwiastka kwadratowego oznacza operację odwrotną: znajdowanie boku danego kwadratu.

Wzór (2)
Wyciąganie pierwiastka kwadratowego.

Różnice kwadratów

W tym miejscu warto zauważyć ciekawą właściwość liczb kwadratowych: Jeśli weźmiesz dowolne dwa sąsiednie kwadraty i odejmiesz je od siebie, różnicą będzie zawsze kolejna liczba nieparzysta! Zdumiewające! Dlaczego tak jest?

Nawet jeśli udałoby Ci się to wyjaśnić algebraicznie, to pewnie taki dowód niewiele by Ci dał, bo ciężko to zrozumieć bez geometrii. Geometria jak zwykle pozwala dostrzec i zrozumieć wzorzec. Oto on:

Różnice kwadratów jako liczby nieparzyste.

Jak widzisz na animacji obok, kolejne kwadraty powstają przez dostawienie do istniejącego kwadratu nowej "warstwy" w kształcie litery "L" (kształt ten Pitagorejczycy nazywali "gnomon", co oznaczało "ten, który wie" – jak myślisz, dlaczego? :->). Każdy taki kształt to dwa rozszerzone boki poprzedniego kwadratu (2a) plus jeden mały kwadracik jednostkowy (1), co razem daje liczbę zawsze nieparzystą (2a + 1), bo choć dwa boki są zawsze do pary, ten jeden dodatkowy kwadracik łamie symetrię ;-)

Takie powiększanie kształtów warstwami jeszcze nam się przyda, gdy będziemy mówić wkrótce o rachunku różniczkowym i całkowym, więc upewnij się, że dobrze rozumiesz tę sztuczkę. Narazie jednak wróćmy do naszych kwadratów.

Wzory skróconego mnożenia

Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, by liczyć różnicę między dowolnymi dwoma kwadratami, także o boku niecałkowitym. Liczby nie będą już wtedy zawsze nieparzyste, ani nawet całkowite, jednak pewne wzorce nadal pozostaną słuszne. Nazywamy je wzorami skróconego mnożenia, ponieważ są "drogą na skróty" przy obliczaniu kwadratów.

Kwadrat sumy

Kwadrat sumy geometrycznie

Kwadrat różnicy

...ciąg dalszy nastąpi...

Różnica kwadratów

...ciąg dalszy nastąpi...