Jesteś tutaj:

Równania kwadratowe

Dodano: 9 kwietnia 2011 (środa), 21:28. Aktualizacja: 11 listopada 2011 (piątek), 18:16

Dotąd poznaliśmy już równania liniowe i funkcje liniowe.
W tym artykule pójdziemy o krok dalej: dorzucimy składnik drugiego stopnia, czyli kwadratowy:

Wzór (1)
Równanie kwadratowe - postać ogólna.

Gdy w szkołach uczą rozwiązywać takie równania, zazwyczaj podają tylko szablonowy wzór końcowy, do którego podstawia się współczynniki a, b, c z równania 1, by obliczyć rozwiązanie:

Wzór (2)
Szablon rozwiązania równania kwadratowego.

Jednak przypuszczam, że gdy patrzysz na ten skomplikowany wzór końcowy, to pewnie niewiele Ci on mówi :-P A to dlatego, że w szkołach raczej nie wyjaśniają z czego ten wzór wynika i co oznacza. Więc jedyne, co Ci wtedy pozostaje, to nauczyć się go na pamięć i bezmyślnie stosować ;-/

Dziś to się zmieni! :-> Nie tylko pokażę Ci, jak dojść do tego wzoru krok po kroku, przyglądając się geometrii ukrytej w równaniu kwadratowym, ale też przekonasz się, że w wielu przypadkach ten wzór jest zupełnie zbędny i tylko niepotrzebnie komplikuje obliczenia, które możesz wykonać nawet w głowie, o wiele mniejszym nakładem pracy! Wystarczy, że zrozumiesz, jak to wszystko działa.

Tylko wyobraź sobie jak zaskakujesz swoich znajomych, gdy po jednym rzucie oka na równanie 3 x kwadrat = 15 x podajesz od razu rozwiązanie: x = 5, zanim oni zdążą choćby przypomnieć sobie wzór i policzyć niesławną "deltę"! :-> Chyba padną z wrażenia :-D

Jednak zanim weźmiemy się za rozwiązanie pełnego równania kwadratowego pokazanego powyżej, spróbujemy najpierw na rozgrzewkę rozwiązać kilka jego prostszych wersji, pozbawionych niektórych składników o niższych stopniach. Dzięki temu będziesz miał/miała okazję zaobserwować, co każdy z nich wnosi do równania kwadratowego i jak wpływa na rozwiązanie. W ten sposób krok po kroku zbudujemy pełne rozwiązanie, dzięki czemu łatwiej będzie Ci zrozumieć skąd ono się bierze.

Kwadrat równy liczbie

Najprostsze równanie kwadratowe posiada tylko składnik drugiego stopnia (kwadratowy) przyrównany do jakiejś stałej liczbowej:

Wzór (3)
Najprostsze równanie kwadratowe.

Jak go rozumieć? Po lewej stronie mamy x kwadrat, czyli jakiś tajemniczy kwadrat. Jego boku x nie znamy. Jednak znamy jego pole! :-) Zauważ bowiem, że cały ten kwadrat musi być równy prawej stronie, a ona mówi nam właśnie, ile wynosi jego pole: jest ono równe a, czyli pewnej liczbie o znanej wartości. Sytuację tę przedstawia poniższy rysunek:

Kwadrat o znanym polu i jego nieznany pierwiastek

Z artykułu o kwadratach i pierwiastkach już pewnie wiesz, że bok kwadratu (czyli nasz nieznany x) to pierwiastek kwadratowy z jego pola (tutaj a, które znamy). A takie rzeczy już umiesz rozwiązywać ;-) Rozwiązanie takiego równania jest więc banalnie proste: Wystarczy, że wyciągniesz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania 3, a dostaniesz:

Wzór (4)
Najprostsze równanie kwadratowe rozwiązane.

Skoro po lewej stronie został nam już tylko "goły" x, i nie ma po nim śladu z prawej strony, to równanie mamy już rozwiązane! :-D Widzisz? Wcale nie było to takie trudne ;-)

Uwaga:
Zauważ, że dostaliśmy tak naprawdę dwa pierwiastki: dodatni i ujemny. To dlatego, że obie te wartości podniesione do kwadratu (czyli pomnożone przez siebie samą) dają ten sam dodatni kwadrat. Ujemne rozwiązania były przez setki lat ignorowane, bo matematycy nie potrafili sobie wyobrazić, co może oznaczać takie "mniej niż nic" (liczba ujemna). Jednak taki "ujemny bok kwadratu" można sobie wyobrazić. Pokażę Ci to w osobnym artykule.

Współczynnik przy kwadracie

A co jeśli przy x kwadrat znajduje się jakiś współczynnik?:

Wzór (5)
c x kwadrat = a

Nic trudnego. Oznacza to po prostu, że mamy nie jeden, lecz więcej takich samych kwadratów: jest ich c. Wszystkie razem mają pole równe a. Przykładowo gdy c wynosi 3, to oznacza, że mamy 3 kwadraty o łącznym polu a. Ten przykład przedstawia poniższa animacja:

Trzy kwadraty o znanym łącznym polu i nieznany pierwiastek jednego z nich.

Aby poznać długość boku takiego kwadratu (czyli nasz x), musimy wiedzieć, jakie pole ma pojedynczy kwadrat. Skoro c kwadratów ma łącznie pole a, to jeden taki kwadrat ma pole a przez c. Wystarczy więc podzielić równanie 5 obustronnie przez c, by dostać równanie dla jednego kwadratu:

Wzór (6)
x kwadrat = a przez c

Jak widzisz, pole kwadratu x kwadrat może być opisane nie tylko pojedynczą liczbą, ale również bardziej złożonym wyrażeniem. Jednak dopóki to wyrażenie nie zawiera żadnych niewiadomych ("iksów"), nadal jest to jakieś znane pole. Możesz zwinąć a przez c do postaci pojedynczej stałej, zastępując go jedną literką, np. A:

Wzór (7)
x kwadrat = A.

i dalej już możesz rozwiązać tą samą metodą, co poprzednio :-) Odczytajmy bok naszego kwadratu, biorąc pierwiastek kwadratowy z obu stron równania 7:

Wzór (8)
x = plus/minus pierwiastek kwadratowy z A.

pamiętając, by na koniec "rozpakować" literkę A, zastępując ją w końcowym wzorze całym tym wyrażeniem, które się pod nią kryło ;-)

Wzór (9)
x = plus/minus pierwiastek kwadratowy z: a przez c.

I tym oto sposobem równanie 5 mamy ostateczne rozwiązanie :-) Zauważ, że niewiele się ono różni od tego z równania 4: po prostu wartość pod pierwiastkiem została podzielona (przeskalowana) przez c, bo interesuje nas bok jednego kwadratu, a nie wszystkich razem wziętych. Wzór 9 można więc odczytać tak: "x to bok (pierwiastek) jednego z c kwadratów o łącznym polu a".

Kwadrat równy pierwiastkowi

A co się stanie, jeśli zamiast znanego pola mamy kolejną niewiadomą stopnia I, czyli czynnik liniowy?:

Wzór (10)
x kwadrat = b x

Choć z pozoru ten problem wygląda na trudniejszy niż poprzedni, okazuje się, że tak naprawdę jest on jeszcze prostszy! :-D Dlaczego? A no spróbujmy odczytać jego znaczenie:

Po lewej stronie mamy jakiś kwadrat x kwadrat, o nieznanym boku x. Jego pole musi być równe temu, co podaje prawa strona. Z prawej strony mamy iloczyn dwóch czynników: b i x, które możemy potraktować jako boki prostokąta. Ale zaraz! Prawa strona mówi nam, że jeden bok tego prostokąta jest taki sam, jak bok naszego kwadratu! Skoro tak, to ten prostokąt musi być kwadratem, bo tylko wtedy jego pole nadal będzie się równać polu kwadratu z lewej strony. Czyli obie strony równania opisują ten sam kwadrat! Przedstawia go poniższy rysunek:

Kwadrat o jednym boku nieznanym (x) i jednym znanym (b).

Podsumujmy to w nieco prostszych słowach: Mamy kwadrat o nieznanym polu, którego jeden bok jest nieznany i równy x, a drugi bok jest znany i równy b. Ale przecież kwadrat ma oba boki równe! :-D Czyli nieznany bok x teź musi być równy b. I to jest właśnie rozwiązanie:

Wzór (11)
x = b

Jeśli to nadal jest dla Ciebie niejasne, to przypomnij sobie definicję kwadratu. Kwadrat to liczba pomnożona przez samą siebie:

Wzór (12)
x kwadrat = x razy x

Jeśli napiszesz pod spodem jeszcze raz równanie 10:

Wzór (13)
x kwadrat = b razy x

i porównasz z równaniem 12 powyżej, to z pewnością zauważysz, że jeden z iksów po prawej stronie ukrył się pod literką b, więc x = b. To tak jakbyś miał/miała dwie zasłonki, a za każdą z nich schowany był ten sam przedmiot. Jeśli odsłonisz jedną, to od razu wiesz także, co znajduje się za drugą ;-)

Zagubione rozwiązanie

Ale to nie jedyne rozwiązanie równania 10. Równanie stopnia II musi przecież mieć dwa rozwiązania. Gdzie schowało się drugie? Zauważ, że równanie 10 zawiera wspólny czynnik po obu stronach. Można to lepiej zauważyć, zapisując go tak:

Wzór (14)
x razy x = b razy x

Jeśli pamiętasz z artykułu o równaniach, taki czynnik, który powtarza się w tej samej postaci po obu stronach równania, jest jak ten sam ciężarek umieszczony na obu szalkach wagi, i jest on wtedy równoznaczny z zerem. Dlatego naszym zgubionym rozwiązaniem jest:

Wzór (15)
x = 0

Takie rozwiązanie zazwyczaj nazywa się trywialnym, bo zazwyczaj mało nas interesuje kwadrat o zerowym boku ;-J Jednak warto o nim pamiętać, bo jest to nadal pełnoprawne rozwiązanie. Przy okazji mozesz zauważyć, że drugie (nietrywialne i niezerowe) rozwiązanie możesz uzyskać bardzo prosto z równania 14 po prostu dzieląc obustronnie przez x, a otrzymasz ponownie rozwiązanie 11.

Współczynnik przy kwadracie raz jeszcze

Tym razem także współczynnik przy x kwadrat nie stanowi dla nas zbytniego utrudnienia:

Wzór (16)
c x kwadrat = b x

Po prostu zamiast jednego kwadratu o znanym jednym z boków, mamy teraz kilka takich kwadratów: tyle, ile wynosi współczynnik c przy x kwadrat. Wystarczy więc, podobnie jak poprzednio, podzielić obustronnie przez c, by otrzymać wzór opisujący pojedynczy kwadrat:

Wzór (17)
x kwadrat = b przez c, razy x.

dalsze rozwiązanie przebiega już dokładnie tak samo, jak dla równania 10, dając:

Wzór (18)
x = b przez c     oraz     x = 0.

Właśnie dlatego to rozwiązanie tak łatwo można znaleźć "na oko", poprzez zwykłe spojrzenie na równanie:
x będzie w nim zawsze równy współczynnikowi przy x, oraz oczywiście zeru. A jeśli masz jakiś współczynnik c przy x kwadrat, to szybko podziel w myślach b przez ten c i podaj odpowiedź, zanim znajomy zdąży ją policzyć ze wzorów ;-)

Jak widzisz, w tych kilku początkowych, prostych przypadkach można się spokojnie obejść całkowicie bez liczenia "delty" i stosowania zawiłych wzorów, które są jak strzelanie z armaty do wróbla :-P Jednak nawet z następnymi przykładami, które będą już pełnoprawnymi równaniami kwadratowymi ze wszystkimi składnikami razem, bez trudu sobie poradzisz, gdy będziesz rozumiał jak działają :-)

Uzupełnianie kwadratu

OK, wiemy już, jak rozwiązać równanie kwadratowe, gdy po jednej stronie znaku równości mamy jakąś stałą a, a po drugiej stronie sam kwadrat iksa. Ale co jeśli jest tam coś jeszcze? Np. składnik liniowy w x?

Wzór (19)
Równanie kwadratowe ze składnikiem liniowym.

No cóż, wtedy nie mamy już zwyczajnego kwadratu, z którego moglibyśmy po prostu wyciągnąć pierwiastek. Zamiast tego mamy kwadrat (x kwadrat) i prostokąt (bx), jak na poniższym obrazku:

Uzupełnianie kwadratu

Nie możemy wyciągnąć pierwiastka z prostokąta, a jedynie z kwadratu, więc musimy jakoś zrobić z tego na powrót kwadrat. Jak możemy to zrobić?

Możemy podzielić prostokąt bx na pół, tak jak na animacji obok, otrzymując dwa prostokąciki o wymiarach pół b na x.

Następnie jedną z tych połówek przenosimy w inne miejsce. Nie zmienia to pola naszej figury po lewej stronie równania, ale… przypomni nam kształt, który już znamy z sekcji o wzorach skróconego mnożenia!

No, prawie: brakuje już tylko małego kwadratowego kawałeczka w jednym z narożników :-P Jego bok wynosi b przez dwa., więc pole to b przez dwa, i to wszystko do kwadratu.. Tak więc jeśli uzupełnimy kwadrat, dodając ten brakujący kawałek, dostaniemy wzór skróconego mnożenia, który da się "zwinąć" jako pojedynczy kwadrat – ten wielki kwadrat na animacji. Oczywiście, aby zachować równowagę, mały kwadracik musimy dodać po obu stronach równania! O tak:

Wzór (20)
Uzupełnienie kwadratu

W ten sposób otrzymujemy po lewej stronie równania wzór skróconego mnożenia. Jeśli jeszcze tego nie widzisz, powiem to nieco wyraźniej:

Wzór (21)
Uzupełnienie kwadratu (wyraźniej)

Można też odczytać to z obrazka: bok wielkiego kwadratu składa się z długości x oraz pół b., co razem daje pełną długość boku wielkiego kwadratu, czyli x plus x przez dwa, i to wszystko do kwadratu. Pole wielkiego kwadratu to x plus x przez dwa, i to wszystko do kwadratu. Możemy więc zwinąć całą lewą stronę (wielki kwadrat) jako:

Wzór (22)
Rozwiązane dla x

i tym sposobem otrzymaliśmy po lewej stronie równania zwyczajny "goły" kwadrat! Możemy więc teraz bez problemu wyciągnąć z niego pierwiastek kwadratowy. Po prawej stronie mamy po prostu kilka stałych, które możemy zapakować do jednej. To sprawiło, że równanie ma teraz dokładnie taką samą postać jak to, którym zajmowaliśmy się w poprzedniej sekcji! A takie coś umiemy już rozwiązywać :-) Po prostu pierwiastkujemy obustronnie i dostajemy:

Wzór (23)
Rozwiązane dla x

By rozwiązać dla x, wystarczy pozbyć się pół b z prawej, odejmując go od obu stron:

Wzór (24)
Rozwiązane dla x

i w zasadzie równanie jest już rozwiązane – mamy przecież "goły" x z jednej strony, a po drugiej stronie w pełni "wiadome" wyrażenie, którego wartość możemy łatwo obliczyć. Przydałoby się jedynie nieco go uprościć…

Dla ciekawskich:
Zanim jednak to zrobimy, zauważ pewną rzecz: pół b odjęte po prawej możemy też zapisać jako:

Wzór (25)
Rozwiązane dla x (więcej)

co unaocznia nam, że pod obydwoma pierwiastkami występuje pół b do kwadratu (tylko w tym pierwszym dodatkowo odjęte jest a). W dodatku dowiadujemy się czegoś o rozwiązaniu równania kwadratowego: Jeśli nie jest ono prostym pojedynczym pierwiastkiem (bokiem kwadratu), to będzie to zawsze suma lub różnica dwóch pierwiastków (różnica boków dwóch kwadratów). Pisał o tym już Euklides w X księdze swoich "Elementów". Takie sumy pierwiastków nazywał "binomium" (łac. "dwumian"), a różnice pierwiastków "residuum" (łac. "pozostałość", "reszta"). Jeszcze wrócimy do tej sprawy, gdy spróbujemy rozwiązać równanie sześcienne. Zobaczysz wtedy, że jego rozwiązania mają bardzo podobną postać.

Znaczenie tej sumy/różnicy pierwiastków można dość łatwo zrozumieć, jeśli pamiętamy, że pierwiastki to boki kwadratów. Różnica pierwiastków oznacza więc różnicę między bokami dwóch kwadratów. Co to za dwa kwadraty? Czy to możliwe, że jeden z nich to nasz kwadrat z równania, a drugi to najbliższy idealny kwadrat? Pomyśl trochę nad tym ;-)