Jesteś tutaj:

Czy ułamki są potrzebne?

Dodano: 10 grudnia 2011 (sobota), 05:11

Starożytni Pitagorejczycy wierzyli, że wszystko we Wszechświecie można zmierzyć, a następnie wyrazić za pomocą liczb. I gdy mówili o liczbach, chodziło im przede wszystkim o liczby naturalne: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … i tak aż do nieskończoności. Niektórzy twierdzą, że do zbioru liczb włączali także liczby wymierne (czyli ułamki, np. Jedna druga (1/2)., Dwie trzecie (2/3). itp.), a później także liczby niewymierne (np. Pierwiastek z 2), ponieważ my ich używamy.

Ale czy słusznie próbujemy patrzeć na ich filozofię przez pryzmat naszej własnej wiedzy, rzekomo bardziej rozwiniętej, kpiąc z ich rzekomych błędów i niedopatrzeń? A może to my czegoś nie zrozumieliśmy za dobrze? Może jednak to oni mieli rację twierdząc, że liczby naturalne wystarczają w zupełności, i to ich wiedza była bardziej zaawansowana od naszej?

W tym artykule spróbuję odpowiedzieć na to pytanie. I mam dziwne przeczucie, że odpowiedź może Cię zaskoczyć ;-J

Wzorcowy ciąg arytmetyczny

Jak pewnie wiesz, ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb, w którym kolejne (sąsiednie) liczby różnią się zawsze o tę samą stałą liczbę; dzieli je ta sama odległość, ten sam krok. Na przykład liczby 4, 7, 10, 13, 16, 19, … tworzą ciąg arytmetyczny, który zaczyna się od 4, a każda następna liczba jest większa od poprzedniej o 3.

Jakiś czas temu zauważyłem, że ciąg liczb naturalnych można uznać za wzorcowy ciąg arytmetyczny: rozpoczyna się od liczby 0, a jego krok wynosi 1. (Przy okazji: 0 i 1 to przecież dwie najważniejsze liczby całego systemu liczbowego! Razem tworzą jednostkę, na której cały system liczbowy się opiera.)  Wszystkie inne ciągi arytmetyczne są tylko przesuniętą i przeskalowaną wersją tego wzorcowego ciągu! Interesujące spostrzeżenie, nieprawdaż? :->

Więcej o liczbach naturalnych napiszę wkrótce w oddzielnym artykule. Teraz jednak pociągnijmy ten pomysł z ciągiem arytmetycznym (heh ;-J) jeszcze dalej i zobaczmy, do czego nas to doprowadzi :->

Dzielenie wszystko psuje

Gdy dodasz do siebie dwie liczby naturalne, otrzymasz zawsze inną liczbę naturalną. Podobnie gdy pomnożysz dwie liczby naturalne. Ale gdy spróbujesz je dzielić, bardzo szybko zauważysz, że niektórych wyników nie da się uprościć do żadnej znanej liczby naturalnej :-/ Pozostanie Ci nieskracalny ułamek, czyli liczba wymierna. Dzieje się tak dlatego, że taka nowa liczba nie jest całkowitą wielokrotnością używanej przez Ciebie jednostki.

Matematycy mówią w takiej sytuacji, że operacja dzielenia nie jest domknięta w zbiorze liczb naturalnych. Czyli w prostych słowach: "Jest na tym świecie więcej liczb, Horacjuszu, niż ci się mieściło w zbiorze liczb naturalnych." ;-)

Czy to oznacza, że Pitagorejczycy się mylili? Co ich skłaniało do wiary, że wszystko we Wszechświecie da się wyrazić liczbami naturalnymi?

Żeby odpowiedzieć na to pytanie, przyjrzyjmy się teraz w jaki sposób w ogóle liczymy rózne rzeczy. Czym jest proces liczenia?

Co to jest liczenie?

Liczenie polega na łączeniu w pary: Każdemu liczonemu obiektowi przypisujesz "etykietkę" w postaci kolejnej liczby naturalnej. "Jedno jabłko, drugie jabłko, trzecie jabłko…" itd. Gdy już każdy obiekt z liczonego zbioru ma przypisaną liczbę, patrzymy wtedy, jakiej liczby naturalnej użyliśmy jako ostatniej, i już wiemy, ile obiektów liczy ten zbiór :-> Ale co, jeśli mamy pół jabłka? :-P

Spokojnie, zaraz wszystko stanie się jasne.

Liczymy punkty

Weźmy sobie taki oto zbiór punktów równoodległych:

Punkty równoodległe, nieskończenie wiele.

Zbiór nie ma końca (zauważ trzykropek z prawej), ale to nie problem: jeśli tylko potrafimy każdemu punktowi przypiąć kolejną liczbę naturalną, to możemy te punkty w ten sposób policzyć (zbiór jest przeliczalny). Np. tak:

Punkty z przypisanymi kolejnymi liczbami naturalnymi.

Do tej pory nic dziwnego się nie dzieje. Ale przypomnij sobie, co mówiłem o ciągach arytmetycznych: Możemy zbudować ciąg arytmetyczny z większym krokiem. Np. ponumerować punkty co drugi. Co się wtedy stanie?:

Kolejne liczby naturalne przypisane co drugiemu punktowi.

Luzik, policzyliśmy co drugi punkt. Ale trochę punktów w ten sposób pominęliśmy (dokładnie połowę! :-P). Jak wziąć je również pod uwagę? Pewnie od razu nasuwa Ci się odpowiedź: "No nie ma siły, musimy już użyć ułamków, które leżą w połowie drogi pomiędzy tymi liczbami naturalnymi". OK, niechże tak będzie:

Całości co drugi punkt + połówki pomiędzy nimi.

Ułamki wydają się tutaj być sensownym wyjściem i raczej nieuniknionym. Ale czy na pewno? Przyjrzyj się uważnie ich licznikom: prawda, że już gdzieś widziałeś taki ciąg liczb? :-> 1, 3, 5, 7, 9, … Oczywiście! To przecież liczby nieparzyste! :-D A czy udałoby się tam jakoś przywrócić również ich braci-bliźniaków: liczby parzyste? Oczywiście, że tak! :-D Wystarczy wyrazić liczby całkowite również jako ułamki:

Połówki, już wszystkie jako ułamki.

A teraz przyjrzyj się uważnie ich licznikom i powiedz, że też to widzisz :-> Widzisz to, prawda?
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … To przecież… ciąg liczb naturalnych!!!. Sprytnie się ukrył, skubaniec, ale nadal tam jest! :-D To mniej więcej tak, jakbyśmy zamiast całych jabłek liczyli połówki jabłek. A przecież połówki to też są jakieś obiekty, które można liczyć. I robi się to dokładnie w ten sam sposób: przypisując im kolejne liczby naturalne :-) "Jedna połówka, druga połówka, trzecia połówka…" itd. Jedyną różnicą jest teraz to, że zamiast liczyć całości, liczymy połówki. Ale to nadal liczenie, więc wszystko działa po staremu! I nadal opiera się o liczby naturalne.

To trochę jak w tym kawale, w którym pani w szkole mówi dzieciom: "Dziś, drogie dzieci, będziemy liczyć na komputerach. Jeden komputer, dwa komputery, trzy komputery…" ;-D

Do czego więc służy mianownik?

Każda liczba naturalna ma teraz przyczepiony mianownik, w którym jest dwójka. Ten mianownik to nic innego, jak informacja o rozmiarze użytej jednostki! :-) Mówi nam, że tym razem liczymy połówki, a nie całości. Możesz rozumieć ją w podobny sposób, jak jednostkę miary zapisywaną obok liczby mianowanej: 1 metr, 1 centymetr, 1 cal … 1 połówka :-)

Tak więc mianownik przypomina nam o tym, jakiej jednostki używamy. Ale jeśli sami o tym pamiętamy, możemy spokojnie porzucić wszystkie te same mianowniki – dokładnie tak, jak porzucamy jedynkę, gdy to ona jest naszą jednostką. I tym sposobem pozostaje nam to, od czego zaczęliśmy:

Punkty z przypisanymi kolejnymi liczbami naturalnymi.

czyli zwyczajny ciąg liczb naturalnych :-)

Ułamki to liczby naturalne w przebraniu

Jak widzisz, ułamki nie wnoszą wcale niczego nowego do systemu liczbowego. To są po prostu liczby naturalne w przebraniu :-D Tym przebraniem jest doczepiony do nich mianownik, który przechowuje informację o tym, w jakiej skali ta liczba naturalna jest wyrażona (za pomocą jakiej jednostki). Jednak gdy wszystko mamy wyrażone w tych samych jednostkach, czyli mamy wspólny mianownik, nie musimy go pisać jawnie.

Wspólny mianownik

A co jeśli są różne mianowniki? No, to znaczy, że te liczby zostały wyrażone w różnych skalach. Ale to nie jest zbyt wielki problem: Przecież jednostki można przeliczać między różnymi skalami, czy różnymi systemami miar ;-J Wystarczy wiedzieć, jaki jest przelicznik jednostek. W przypadku ułamków takim przelicznikiem jest właśnie wspólny mianownik. Jeśli masz kilka ułamków, które mają różne mianowniki, poszukaj takiego mianownika, który jest wspólny dla nich wszystkich, i przeskaluj je wszystkie do tej jednej, wspólnej skali. (Najprościej po prostu pomnożyć oba mianowniki, ale są też lepsze sposoby, jak np. algorytm Euklidesa. Niedługo o nich napiszę.)

Przykładowo gdy potrzebujesz dodać takie dwa ułamki o różnych mianownikach:

Połowa plus ćwiartka (1/2 + 1/4).

(jedna połowa plus jedna ćwiartka), to wspólnym mianownikiem może być 4 (bo liczymy ćwiartki). Przeskaluj odpowiednio pierwszy ułamek, mnożąc go przez 2 (bo 2*2=4, czyli wspólny mianownik), a otrzymasz:

Dwie ćwiartki plus jedna ćwiartka to razem trzy ćwiartki (2/4 + 1/4 = 3/4).

czyli dwie ćwiartki plus jedna ćwiartka daje razem trzy ćwiartki :-) Ale skoro już wszystko jest w tej samej jednostce, możemy podzielić nasze równanie obustronnie przez tę jednostkę (przez 1/4, czyli pomnożyć przez jej odwrotność: 4), by stała się prawdziwą jednostką naszego systemu liczbowego: jedynką. Wtedy równanie przeskaluje się do bardziej naturalnej postaci:

2 + 1 = 3

i znów zobaczymy wszystko jako liczby naturalne! :-D

Ten trick działa zawsze, dla dowolnych ułamków. Zawsze możesz znaleźć wspólny mianownik i wyrazić wszystkie ułamki za jego pomocą, w tej wspólnej jednostce, a wtedy trzymanie informacji o niej już nie jest potrzebne i można spokojnie pracować na liczbach naturalnych. Wniosek z tego może płynąć tylko jeden :-)

Ułamki są niepotrzebne! :-D

Tak! Starożytni Pitagorejczycy mieli rację. Najwyraźniej doskonale zdawali sobie sprawę z tego, że ułamki to tylko bardziej skomplikowany zapis liczb naturalnych, zachowujący informację o skali liczby (jednostce miary), jednak nie wnoszący niczego nowego do systemu liczbowego. Ułamki nie są konieczne do liczenia, skoro dokładnie te same obliczenia można przeprowadzić w bardziej naturalnej skali: na liczbach naturalnych :-)

Tak więc ułamki są tutaj nadmiarowe. Nie są potrzebne. Ale to oczywiście nie oznacza, że nie można ich używać! Jeśli z jakichś powodów jest to dla nas wygodniejsze, to możemy. Na przykład jeśli mimo wszystko chcemy zachować informacje o skali poszczególnych liczb (w mianownikach), podobnie jak w fizyce zachowujemy często nazwy jednostek, żeby wiedzieć, czy dana wielkość została zmierzona w calach, centymetrach, czy litrach ;-)

Jednak teraz, gdy już wiesz, że ułamki to tylko liczby naturalne w przebraniu, pewnie nie będą już dla Ciebie takie straszne, jak kiedyś ;-D Bo jeśli potrafisz coś zrobić ze zwykłymi liczbami naturalnymi, to bez problemu zadziała to również dla ułamków.

Ile jest liczb wymiernych?

Na koniec zostawiłem smakowity kąsek: coś, nad czym głowił się wielki matematyk, Georg Cantor, i przyprawiło go to dosłownie o zawrót głowy (wylądował w psychiatryku ;-P). Mianowicie liczenie do nieskończoności.

Jak już pewnie wiesz, liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Jednak nieskończoną ilość pojedynczych obiektów nadal da się policzyć. Robiliśmy to już z punktami przed chwilą. Ale ile jest ułamków?

Wydaje się, że jest ich więcej, jeśli spojrzymy na drugi z przykładów z liczeniem punktów: pomiędzy liczby naturalne da się przecież wepchać jeszcze trochę ułamków. Nie tylko połówek, ale też ćwiartek, ósmych części, szesnastych… a także trzecich, dziewiątych itd. Więc wygląda na to, że tych ułamków jest o wiele, wiele więcej, niż liczb naturalnych!

Jednak szokująca prawda jest taka, że jest ich dokładnie tyle samo, co liczb naturalnych! :-o Jak to możliwe?

A no zauważ, że we wszystkich przykładach z liczeniem punktów były to wciąż te same punkty! Jedyne, co się zmieniało, to przypisane im liczbowe etykietki (adresy). Te same punkty były numerowane na różne sposoby. Raz przypisałem każdemu punktowi jedną liczbę naturalną. Innym razem przypisałem ją co drugiemu punktowi, wypełniając braki ułamkami. Jednak od razu zobaczyliśmy też, że te ułamki były tylko innym sposobem zapisu liczb naturalnych, korzystającym z innej skali (innej jednostki).

Więc skoro zawsze są to liczby naturalne (tylko nie zawsze jest to od razu widoczne), to musi ich być za każdym razem tyle samo :-) I choć tych ułamków wydaje się być niezliczona ilość, to jednak da się je policzyć, czyli użyć na powrót naturalnego sposobu ponumerowania ich – liczb naturalnych. Matematyk powiedziałby, że liczby wymierne są przeliczalne, a ich liczność jest dokładnie taka sama, jak liczb naturlanych.

Możesz zaprotestować, że w naszych przykładach użyliśmy tylko połówek pomiędzy liczbami naturalnymi, a przecież jest tam też cała masa innych ułamków. To oczywiście prawda. Jednak przypomnij sobie, że w takim wypadku możesz poszukać wspólnego mianownika, bardzo dużego (czyli bardzo małej skali/jednostki), i sprowadzić do niego wszystkie te różne ułamki. Innymi słowy, zwiększyć rozdzielczość swojej linijki ;-) Wtedy na powrót ich liczniki staną się ciągiem liczb naturalnych, który "ponumeruje" je wszystkie w kolejności :->.

Nie istnieje żadne ograniczenie, jak drobne kroczki możesz obrać. Mianownik może więc zmierzać do nieskończenie wielkiej liczby. To jednak niczego nie zmienia, bo to są cały czas te same dyskretne punkty, równo oddalone od siebie. Jedyne, co w ten sposób zmieniasz, to adresy liczbowe, jakie im nadajesz. Cyferki na skali swojej linijki. Dlatego liczby wymierne zawsze pozostaną przeliczalne i równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych. (Bo one liczbami naturalnymi, tylko w przebraniu! Pamiętasz? :-> )   I zawsze pozostaną pomiędzy nimi dziury, w których będą się kryć liczby niewymierne. I to właśnie one dopiero pokrzyżowały szyki Pitagorejczykom. Ale to już inna historia, do której wrócę innym razem.


Możliwość komentowania wkrótce zostanie uruchomiona. Proszę o cierpliwość. Do tego czasu możesz przesłać mi maila z komentarzem, używając formularza kontaktowego.