Przeskocz do:

• Treści głównej
• Nawigacji meta
• Głównych tematów
• Wyszukiwania
• Stopki

---

Nawigacja meta

• Blog
• Książka
• Linki
• Kontakt

Główne tematy:

• Matematyka
• Fizyka
• Chemia
• Biologia
• Komputery

Wszyscy myślą, że czegoś nie da się zrobić.
Aż tu nagle przychodzi ktoś, kto o tym nie wie, i jemu właśnie to się udaje.

Albert Einstein

Liczby kreatywne i dzielenie przez zero

Na pewno nie raz w życiu słyszałeś/słyszałaś, że dzielenie przez zero jest niemożliwe do wykonania. W szkole pewnie nawet uczyli Cię rymowanki w stylu "Nigdy cholero nie dziel przez zero!", by raz na zawsze utrwalić w Twojej głowie pogląd, że tego nie da się zrobić i nie powinno się nawet próbować. Tak jakby podzielenie przez zero miało spowodować jakąś ogromną kosmiczną katastrofę; stworzyć czarną osobliwość, która wessie cały Wszechświat. Świadczą o tym np. takie zabawne obrazki.

Każdy szanujący się matematyk (a im bardziej szanujący się, tym gorzej ;-P) powie Ci, że to niemożliwe i wręcz absurdalne. Przedstawi tysiące dowodów matematycznych, które świadczą o tym, że taka operacja nie ma logicznego sensu i nawet nie można jej sensownie zdefiniować.

Ale czy aby na pewno tak jest? Czy naprawdę system liczbowy mógłby istnieć z tak poważną dziurą, związaną z jedną tylko liczbą? (zerem) Czy naprawdę takie "nic", jak zero, może stwarzać aż tyle problemów?

Gdy ktoś mówi mi, że coś jest niemożliwe, tłumaczę to sobie jako: "Nikt jeszcze nie wpadł na sposób, jak to uczynić możliwym". Podobnie podchodzę do kwestii dzielenia przez zero.

W tym artykule spróbuję Ci odpowiedzieć na to pytanie i rozwiązać tę zagadkę, z którą ludzkość bezskutecznie zmaga się od tysiącleci. Spróbuję Cię przekonać, że być może rozwiązanie istnieje, i na dodatek jest bardzo proste :-) Tak proste, że aż wstyd, że nikt dotąd na niego nie wpadł.

Zanim jednak będę mógł Ci go pokazać, przyjrzymy się wspólnie wszystkim liczbom, jakie odkryliśmy do tej pory, i spróbujemy poszukać jakiejś wspólnej reguły łączącej okoliczności ich odkrycia. Pomoże nam to użyć tej samej reguły, by odkryć sposób na dzielenie przez zero.

Skąd się biorą liczby?

Każda liczba powstaje po to, by istniało rozwiązanie dla jakiegoś równania; by dało się go rozwiązać. A równania tworzymy, by opisać matematycznie jakiś problem, z którym przyszło nam się zmierzyć. Im dziwniejszy problem napotykamy w przyrodzie, tym dziwniejsze tworzymy równania i dziwniejsze tworzymy liczby, by ten problem odzwierciedlić i rozwiązać. Hmm... tworzymy... Czy aby na pewno?

Amir D. Aczel pod sam koniec swojej książki "Tajemnica alefów: Matematyka, Kabała i ludzki umysł" (ang. The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Human Mind) zastanawiał się nad tym, czy liczby są jedynie wymysłem człowieka, czy może stoi za nimi jakaś rzeczywista i namacalna właściwość samego Wszechświata. Przez długi czas byłem zwolennikiem tej pierwszej wersji (z wymysłem człowieka), lecz słowa Aczela zachwiały moją pewnością. No bo jeśli liczby są tylko wymysłem człowieka, to dlaczego od czasu do czasu jesteśmy zmuszeni "wynaleźć" jakiś nowy rodzaj liczb? Dlaczego takie nowe liczby często nas zaskakują? Ba, czasami nawet tak bardzo, że aż ciężko nam zaakceptować fakty, które matematyka przed nami ujawnia! Jak to możliwe, by nasze własne dzieło mogło nas zaskakiwać i robić coś, do czego wcale go nie stworzyliśmy? Może jednak prawda jest inna?: Wcale nie wymyślamy liczb, lecz odkrywamy te, które zaszyte są coraz głębiej w strukturze samej Natury?

Zobaczmy więc teraz, jak to było z wynajdywaniem różnych rodzajów liczb i jakie problemy to rozwiązało.

Liczby naturalne

Tu sprawa jest dość prosta: jeśli chcemy policzyć jakieś jednorodne obiekty, na przykład barany :-) wynajdujemy nową nazwę na każdą kolejną liczność stada baranów. Jeden baran, dwa barany, trzy barany... <ziew> Może dajmy spokój tym baranom, bo robię się senny ;-D

Tak więc znajdujemy nowy symbol (liczbę) do zapisania każdej kolejnej, coraz większej, grupy obiektów.

Oczywiście w ten sposób ciężko byłoby posługiwać się dużymi liczbami, bo trzeba by było wymyślać co raz to nowe symbole dla każdej następnej liczności. Kto by to spamiętał! Dlatego ludzie stworzyli kilka systemów liczbowych, w których liczby można zapisywać w zorganizowany sposób za pomocą małego zestawu symboli. Tę sprawę poruszę w osobnym artykule. A na razie po prostu przyjmijmy za pewnik, że liczby naturalne istnieją i każdy jest z nimi za pan brat ;-)

Liczby ujemne

...

Ułamki, czyli liczby wymierne

Wspomniałem wcześniej, że każda liczba jest rozwiązaniem jakiegoś równania (tak, wiem, są jeszcze liczby przestępne, które ponoć nie wychodzą z żadnego równania; jeszcze wrócimy do tej kwestii, a narazie oddychaj ;-J ). Przyjrzyjmy się więc takiemu równaniu:

Równanie (1)

Jeśli do tej pory miałeś do czynienia tylko z baranami :-D (tudzież innymi całkowitymi obiektami) i znasz tylko liczby całkowite, takie równanie może Ci się wydawać niemożliwe do rozwiązania. Bo jak byś nie kombinował/kombinowała, to nie możesz uzyskać jednego barana z połączenia dwóch jednakowych grup baranów.

Ale nie możesz znaleźć rozwiązania nie dlatego, że ono nie istnieje, tylko dlatego, że Twoje narzędzie (liczby całkowite), oraz Twoja obecna perspektywa (liczenie jednorodnych obiektów), są do tego zbyt ograniczone. Jeśli jednak się tym nie przejmiesz i spróbujesz mimo wszystko rozwiązać równanie dla (dzieląc obustronnie przez 2), to co otrzymasz? Spójrzmy:

Dwójki po lewej stronie się skrócą i zostaje:

Równanie (2)

Po lewej stronie mamy już tylko , więc równanie jest poprawnie rozwiązane dla . Jednak po prawej stronie mamy wyrażenie, które nie wygląda zbyt fajnie, ale nie możemy go już bardziej uprościć. Nic się nie skraca, bo nie da się podzielić 1 na 2 bez reszty. Dwójka nawet nie mieści się w jedynce! Nie mamy takiej liczby całkowitej, którą moglibyśmy zastąpić to wyrażenie. Wygląda to więc na beznadziejną sytuację!

Ale możesz też spojrzeć na to z innej strony: Nie możemy tego bardziej uprościć, zastępując jakąś pojedynczą liczbą całkowitą, ponieważ rozwiązanie nie jest żadną z liczb znanych nam do tej pory! Jest zupełnie nową liczbą, która powstaje z kombinacji znanych nam liczb. Możemy więc uznać, że to jest właśnie rozwiązanie, i tego własnie wyrażenia użyć jako symbolu do oznaczenia nowoodkrytej liczby.

Z symbolu wynika, że ta nowa liczba jest stosunkiem dwóch liczb całkowitych, jednak sama nie jest liczbą całkowitą, lecz ułamkiem całości. Dlatego symbol ten nazwiemy ułamkiem zwykłym, a nowy rodzaj liczby liczbą wymierną.

Mając ten symbol, możemy spróbować go użyć w oryginalnym równaniu 1 i zobaczyć, co z tego wyjdzie:

Równanie (3)

Skracamy dwójki i dostajemy równanie prawdziwe:

Równanie (4)

 

Możemy więc na luzaku posługiwać się takimi symbolami (ułamkami) w równaniach i przekonać się, że zachowują się one grzecznie w przekształceniach algebraicznych i pozwalają nam rozwiązywać rzeczywiste problemy. Na przykład powyższe równanie 3 mówi nam, że dwa razy po pół jabłka to razem jedno całe jabłko. Wystarczy więc znaleźć takie właśnie odniesienie do rzeczywistości, by się przekonać, że te nowe liczby rzeczywiście istnieją i mają sens.

Liczby niewymierne

Starożytni Pitagorejczycy twierdzili, że wszystko na tym świecie można wyrazić w liczbach. Jeśli nie całkowitych, to jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Używali więc liczb wymiernych, które właśnie przed chwilą odkryliśmy ponownie. Wkrótce jednak zauważyli, że nie wszystko da się wyrazić jako stosunek liczb całkowitych. Postawiło to ich teorie na głowie i zburzyło skrzętnie zbudowany porządek. Przerażało ich do tego stopnia, że strzegli tego odkrycia jak największego sekretu. Jego zdradzenie można było przypłacić życiem (Hippasos przypłacił).

Zobaczmy więc teraz, co trzeba zrobić, by odkryć sekret Pitagorejczyków. Mamy sobie taki oto kwadrat jednostkowy:

Jaką długość ma przekątna tego kwadratu? Żeby się tego dowiedzieć, możemy zauważyć, że tworzy ona "grzbiet" trójkąta prostokątnego, którego "nogami" są dwa jednostkowe boki, i użyć tych informacji w sławetnym wzorze Pitagorasa:

Równanie (5)

No i mamy problem: Żadna liczba całkowita, ani żadna liczba wymierna, gdy ją pomnożymy przez nią samą (czyli podniesiemy do kwadratu), nie daje 2. Po raz kolejny wśród liczb, które znamy, nie istnieje taka, która rozwiązywałaby to równanie!

Ale jeśli przyjrzysz się uważniej rysunkowi kwadratu, który doprowadził do tego równania, to na pewno stwierdzisz ze zdziwieniem: "Hej, przecież musi istnieć jakaś liczba, która oznacza długość tej przekątnej! Przecież przekątna istnieje, jest realna!" To prawda. Jeśli zainspirowany/zainspirowana geometrią postanowisz mimo wszystko spróbować rozwiązać to równanie, pierwiastkując obie strony, to otrzymasz:

Równanie (6)

I znowu nie możemy już bardziej uprościć wyrażenia po prawej stronie. Pozostaje nam tylko uznać, że jest symbolem dla nowej liczby, którą właśnie odkryliśmy, i że ta liczba ma pokrycie w rzeczywistości jako długość przekątnej kwadratu jednostkowego.

Jeśli podstawisz ten symbol do oryginalnego równania 5, to przekonasz się, że spełnia on to równanie:

 

Tak więc nowy symbol i nowa liczba zachowuje się grzecznie w równaniach i pozwala rozwiązywać problemy, które wcześniej uważaliśmy za niemożliwe :-) Na przykład teraz już wiemy, jak oznaczyć długość przekątnej kwadratu jednostkowego:

Prócz pierwiastka z dwóch możemy znaleźć wiele takich liczb. Takie liczby nazywamy liczbami niewymiernymi. Nie dlatego, że nie możemy ich zmierzyć, ale dlatego, że nie możemy ich wyrazić żadnymi liczbami całkowitymi ani ich stosunkami (ułamkami). Możemy jednak, jak widzisz, posługiwać się nimi z powodzeniem i rozwiązywać rzeczywiste problemy. Wiele równań wielomianowych można dzięki nim rozwiązać.

Liczby przestępne

Okazuje się, że wszystkie znane nam dotąd liczby razem wzięte nie wyczerpują jeszcze tematu. Istnieją bowiem liczby, których nie można "dosięgnąć" żadnym wielomianem o wymiernych potęgach. Jeśli umieścisz na jednej linii (osi liczbowej) wszystkie liczby całkowite, wymierne i niewymierne, to okaże się, że choć z daleka oś liczbowa wygląda na gęsto usianą punktami, niemalże ciągłą, to jednak pomiędzy nimi jest jeszcze pełno maleńkich "dziurek".

Co gorsza, gdy Cantor próbował policzyć, czego jest więcej: punktów reprezentujących liczby wymierne, czy owych dziur, to okazało się, że liczb wymiernych jest tyle samo, co liczb całkowitych, jednak liczb niewymiernych jest znacznie więcej: wręcz niezliczona ilość (tzw. continuum, czyli po ludzku "ciągłość"). A mimo to strzelając na chybił-trafił w przypadkowe miejsca osi liczbowej szanse na trafienie w liczbę wymierną, czy nawet niewymierną, są bliskie zeru!

Czegoś nam więc tutaj nadal brakuje... Tym czymś są liczby przestępne. Takimi liczbami są np. słynna liczba ("pi", stosunek obwodu koła do jego średnicy), czy "e" (podstawa logarytmu naturalnego). Matematycy mówią, że nie są one liczbami algebraicznymi (czyli rozwiązaniami jakiegoś wielomianu o wymiernych potęgach). Jednak według mnie wcale nie oznacza to, że nie można ich ująć we wzory! Przecież czymże innym, niż wzorem na otrzymanie "pi", jest sama jej definicja?:

gdzie to obwód koła, a to jego średnica. Przecież to równanie niewiele się różni od tego, co widzieliśmy do tej pory: symbolizuje tutaj liczbę, która spełnia to równanie i jest jego rozwiązaniem. Co prawda i mogą się zmieniać, jednak zawsze zmieniają się proporcjonalnie, więc ułamek zawsze skraca się na powrót do . Podobne równanie możemy znaleźć dla zdefiniowania liczby "e" i wielu innych liczb przestępnych. Joseph Liouville znalazł ich całkiem sporo.

Wszystkie liczby wymierne i niewymierne, wraz z liczbami przestępnymi, tworzą już pełne, ciągłe continuum wzdłuż całej linii osi liczbowej. Cały ten zbiór liczb nazywamy liczbami rzeczywistymi.

Ale czy to już koniec? Skoro pokryliśmy szczelnie liczbami całą linię osi liczb rzeczywistych, czy możemy już odetchnąć z ulgą stwierdzając, że odkryliśmy już wszystkie możliwe liczby?

Tajemnicze pierwiastki z liczb ujemnych

No cóż, okazuje się, że nadal nie :-P Nadal niektóre równania wielomianowe nie mają rozwiązań. Prędzej czy później natkniesz się np. na takie prościutkie równanie kwadratowe:

Równanie (7)

Jeśli poeksperymentujesz trochę z podnoszeniem do kwadratu różnych liczb, to szybko zauważysz, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej, dodatniej czy ujemnej, daje zawsze liczbę dodatnią. Nigdy ujemną! Dlatego też matematycy przez całe wieki zaklinali się na wszelkie świętości, że takie równanie nie posiada rozwiązania. Trudno się z nimi nie zgodzić; w końcu jeśli przestawisz równanie w taki sposób:

a następnie zamienisz w funkcję :

i narysujesz jej wykres:

to zobaczysz, że w żadnym miejscu nie przecina on osi iksów (). Patrząc na ten wykres można więc odnieść nieodparte wrażenie, że matematycy mają rację i to równanie nie może mieć żadnych rozwiązań. Okazuje się jednak, że taki wykres jest zwodniczy i mocno ogranicza nasze postrzeganie! Zawęża nasze pole widzenia w taki sposób, że nigdzie na nim nie widzimy rozwiązania, choć w istocie takie rozwiązanie istnieje.

Przypomina to trochę sposób myślenia kogoś, kto uważa swoje podwórko za cały świat. Jeśli powiesz mu o istnieniu słonia, odpowie: "Absurd! Takie zwierzę nie może istnieć! Nigdy żadnego nie widziałem na moim podwórku! Chcesz mnie przekonać, że słonie istnieją? Pokaż mi jakiegoś na moim podwórku!" Widać wyraźnie, że stawia nam zadanie niemożliwe do wykonania: Choć my dobrze wiemy, że przecież słoń istnieje, nigdy nie będziemy w stanie mu tego udowodnić!

Z powyższych pobudek matematycy długo ignorowali takie równania i pierwiastki z liczb ujemnych. Również wtedy, gdy takie pierwiastki pojawiały się w rozwiązaniach niektórych równań sześciennych. Do czasu, aż pewnego dnia Girolamo Cardano zauważył, że jeśli nie zrażając się tymi pierwiastkami odważnie kontynuuje się obliczenia, to w końcu dochodzi się do "normalnego" wyniku będącego liczbą rzeczywistą!

Wniosek był nieunikniony: Te liczby, pierwiastki z liczb ujemnych, muszą coś oznaczać. Zachowywały się grzecznie w równaniach i prowadziły do poprawnych wyników. Problem tylko w tym, że nikt nie wiedział jeszcze, co te liczby oznaczają. Ciężko było to sobie wyobrazić. Zbyt ciężko! Dlatego te liczby nie cieszyły się zbytnim uznaniem wśród matematyków i nadano im dość obraźliwą nazwę: liczby urojone (ang. imaginary numbers). Sytuacja ta niewiele się zmieniła do czasów obecnych!

Odkrywaniu tych nowych liczb urojonych (pierwiastków z liczb ujemnych), oraz ich geometrycznemu znaczeniu, poświęcę cały osobny artykuł, ponieważ ta historia jest pasjonująca i usiana intrygami ;-) Na razie jednak zróbmy tak, jak Cardano: spróbujmy mimo wszystko kontynuować obliczenia i zobaczyć, do czego nas doprowadzą. Jeśli spierwiastkujesz obie strony równania 7, otrzymasz:

Równanie (8)

Nie wiemy, czym jest ten pierwiastek z -1, ani co oznacza, jednak uznajmy, że to jest właśnie rozwiązanie równania 7: ten symbol, , oznacza tajemniczą nową liczbę, którą właśnie odkryliśmy; liczbę urojoną. Sprawdźmy, co się stanie, gdy wstawimy ją na powrót do równania 7:

 

Ponownie przekonaliśmy się, że wszystko gra: otrzymaliśmy równanie prawdziwe. Nowa liczba pozwala nam rozwiązać to i inne podobne równania, zachowuje się też grzecznie w przekształceniach algebraicznych. Jej znaczenie geometryczne też wkrótce stanie się dla Ciebie jasne.

Czy to już koniec odkrywania? A może istnieją jeszcze jakieś nowe liczby?

Wszystkie liczby, które odkryliśmy do tej pory, pozwalają nam już rozwiązać każdy wielomian o wymiernych współczynnikach i okazuje się, że wszelkie rozwiązania leżą na powrót w zbiorze liczb, które odkryliśmy do tej pory (tzw. liczb algebraicznych). Żadne równanie nie wyrzuca nas gdzieś poza ten zbiór (matematycy mówią, że zbiór liczb algebraicznych jest domknięty dla wszystkich operacji arytmetycznych). Wygląda więc na to, że żadne dodatkowe liczby nie są już nam potrzebne. W artykule o liczbach urojonych pokażę Ci, dlaczego to tak działa, za pomocą geometrii.

Wyciągając jednak wnioski z historii zalecałbym ostrożność w rzucaniu stwierdzeń, że wiemy już wszystko. Być może istnieją jeszcze jakieś nowe rodzaje liczb, które poznamy dopiero wtedy, gdy staniemy przed nowymi problemami i zapiszemy je za pomocą jakichś nowych równań. W zasadzie już teraz możemy sobie przypomnieć, że istnieją takie równania, których nadal nie potrafimy rozwiązywać! Mam na myśli równania zawierające dzielenie przez zero! Czas więc najwyższy wrócić do głównego tematu niniejszego artykułu i rozwiązać wreszcie tę odwieczną zagadkę :->

Czas wyciągnąć wnioski

Spójrzmy teraz wstecz na wszystkie liczby, które dotąd odkryliśmy, i spróbujmy poszukać w okolicznościach ich odkrywania jakiejś wspólnej, jednoczącej reguły, która doprowadziła do ich odkrycia. Przeczytaj poniższy akapit bardzo uważnie! Zawarte w nim wskazówki pozwolą nam rozwiązać zagadkę liczącą sobie tysiąclecia!

Możemy zauważyć, że każda nowa liczba wychodziła nam z jakiegoś równania. Co jakiś czas napotykaliśmy równanie, którego nie dało się rozwiązać z użyciem liczb dotąd poznanych. Mogliśmy to rozpoznać po tym, że równanie mieliśmy już poprawnie rozwiązane dla , jednak po prawej stronie pozostawało wyrażenie, którego nie mogliśmy już bardziej uprościć. A było tak dlatego, że nie dało się go zastąpić żadną z liczb, które znaliśmy. Było zupełnie nową liczbą, która powstaje z kombinacji liczb już nam znanych. Wtedy używaliśmy tego pozostałego, nieredukowalnego wyrażenia jako symbolu dla nowej liczby. Od tej pory mogliśmy używać tego symbolu w równaniach, by rozwiązywać podobne problemy. Po tym, że ów symbol zachowuje się grzecznie w równaniach i spełnia je (rozwiązuje), prowadząc do równań prawdziwych, mogliśmy ocenić jego poprawność i przydatność.

Zastosujmy więc właśnie nabytą wiedzę, by rozwikłać wreszcie zagadkę dzielenia przez zero.

I w końcu: dzielenie przez zero

Przykładowe równanie, które prowadzi do problemu dzielenia przez zero, wygląda np. tak:

Równanie (9)

Tego typu równania są zwykle przedstawiane przez matematyków jako dowód na to, że dzielenie przez zero nie ma sensu. Matematycy mówią bowiem, że powyższe równanie jest sprzeczne, gdyż każda liczba pomnożona przez 0 daje 0. Nie da się w ten sposób otrzymać 3. Wymnażają przez 0 i otrzymują równanie sprzeczne logicznie (nieprawdziwe):

Równanie (10)

 

Na tej podstawie argumentują, że nie można znaleźć takiego , który by spełniał to równanie. Ale czy to Ci czegoś nie przypomina? :->

Przecież dokładnie tak samo mówili o pierwiastkach z liczb ujemnych! Wśród znanych sobie liczb (dodatnich i ujemnych) nie mogli znaleźć takiej, która podniesiona do kwadratu dawałaby liczbę ujemną, więc uważali na tej podstawie, że całe to równanie jest sprzeczne, bo taka liczba nie istnieje. Później jednak okazało się, że się pomylili, a taka liczba istnieje (poza zbiorem liczb, które znali; jest liczbą urojoną). I zrobili dokładnie ten sam błąd, który popełniają tutaj:

To oczywiście prawda, że równanie 10 jest sprzeczne logicznie (nieprawdziwe): zero nigdy nie może równać się trzem. Jednak równanie 9 już wcale nie jest sprzeczne! Błąd polega na tym, że przecież nie znamy wszelkich możliwych , by móc z pewnością stwierdzić, że nie istnieje gdzieś taki, który by spełnił to równanie. Możemy tylko stwierdzić z pewnością, że nie istnieje taki wśród liczb, które znamy! Brzmi znajomo? :-> To jest właśnie klucz do zagadki.

Załóżmy, że być może jednak istnieje taka liczba, która spełnia to równanie, i spróbujmy ją znaleźć, rozwiązując dla . W tym celu musimy zrobić co? (Uwaga teraz, matematycy, trzymajcie się swoich portek, bo poleci herezja ;-D) Obie strony równania 9 musimy podzielić przez zero! :-D Spójrz:

Nie zrażajmy się tym, co mówią matematycy, że dzielenie przez zero jest niewykonalne, i po prostu go wykonajmy. Po lewej stronie ułamek się skróci i zostajemy z:

Równanie (11)

Nie wiem jak Tobie, ale mnie to wyglada na równanie poprawnie rozwiązane dla ! :-) Podobnie, jak to miało miejsce z wcześniej odkrywanymi liczbami, otrzymaliśmy po prawej stronie wyrażenie, którego nie możemy już bardziej uprościć, ponieważ nie umiemy wykonać tego dzielenia, by zastąpić go którąś ze znanych nam liczb. Ale może to dlatego, że to nie jest żadna z liczb, które znamy? :->

I rzekł SasQ: "Niech powstaną liczby kreatywne!" ;-)

Uznajmy więc, że jest to zupełnie nowa liczba, a wyrażenie jest jej symbolem.

Co się stanie, jeśli użyjemy tego symbolu w równaniu 9, które do niego doprowadziło? Ano zobaczmy:

Po lewej stronie zera się skrócą i dostajemy:

 

czyli równanie prawdziwe! Oznacza to, że jest właśnie taką liczbą, która potrafi z niczego zrobić coś: w tym przypadku z zera robi trójkę. Ze względu na tę jej twórczą moc, nazwijmy ją więc liczbą kreatywną :-D

W dodatku możemy zauważyć, że liczba ta "stwarza" zawsze nie jakąś przypadkową liczbę, dowolną, lecz dokładnie wartość ze swojego licznika, w sposób całkowicie jednoznaczny! Nie da się w ten sposób otrzymać innej wartości. Do tego potrzebna jest inna liczba kreatywna, spełniająca inne równanie. Np.:

Równanie (12)

I mamy zupełnie inne rozwiązanie. Gdy wstawimy go do oryginalnego równania 12, znów otrzymamy równanie prawdziwe:

 

I widział SasQ, że były to dobre liczby ;-)

Jak widać, liczby kreatywne, które właśnie odkryliśmy, pozwalają nam rozwiązywać równania, które wcześniej były "niemożliwe" do rozwiązania :-) Zachowują się też grzecznie w różnych przekształceniach algebraicznych. Np. można je ze sobą mnożyć:

oraz dodawać:

Podlegają też prawu rozdzielności:

Więc, jak widać, zachowują się grzecznie w przekształceniach algebraicznych. Mają sens.

Nie wiem jeszcze, co te liczby mogą oznaczać geometrycznie i do czego mogłyby się przydać. Mam jednak przeczucie, że coś, co stanowiło problem przez tysiąclecia, musi mieć jakieś bardzo ważne znaczenie. Być może pozwoli jakoś wyjaśnić inną wielką zagadkę: Jak nasz ogromny Wszechświat mógł powstać z zupełnie niczego? Może przyda się naukowcom badającym tajemnicze osobliwości w polu grawitacyjnym, zwane czarnymi dziurami? Może pozwoli nam jakoś badać problem nieskończoności? Wydaje mi się, że może to być jakoś związane z problemem, nad którym głowił się Cantor: jednakowo nieskończonej ilości punktów mieszczących się na dwóch odcinkach różnej długości, a także na dowolnej innej figurze czy bryle geometrycznej, włącznie z pojedynczym punktem.

Liczby kreatywne mogą się również przydać w rachunku różniczkowym, który wkrótce poznasz, ponieważ według mnie polega on na sprytnym unikaniu dzielenia przez zero za pomocą matematycznego pojęcia granicy. Chodzi o to, że każda różniczka to swego rodzaju stosunek, którego mianownik staramy się zmniejszać i zmniejszać jak najbliżej zera, by w granicy otrzymywać liczbę jak najbliższą do tej granicznej wartości. Ta wartość graniczna oznacza np. prędkość obiektu w danej chwili czasu, czyli odcinku czasu o zerowej długości. "Teraz". W obecnie stosowanej definicji używa się granicy, by uniknąć dzielenia przez ten zerowy odcinek czasu i przeskoczyć od razu do tej granicznej wartości. Być może zastosowanie liczb kreatywnych pozwoliłoby pracować na takich wartościach bezpośrednio, używając jawnego dzielenia przez zero, zamiast przeskakiwać ni stąd ni z owąd do granicy.

Jak widzisz, wiele wskazuje na to, że problem dzielenia przez zero jednak może mieć rozwiązanie. W dodatku bardzo proste rozwiązanie! Trzeba jednak teraz ostrożnie przyjrzeć się temu rozwiązaniu i upewnić się, czy zachowuje się grzecznie we wszystkich przekształceniach algebraicznych, jakie znamy, a jeśli nie, to dlaczego i jak go udoskonalić. Ten problem narazie pozostawiam otwarty. Niech inni też mają okazję coś odkryć :-D Może zechcesz spróbować? :->

Proponuję Ci pobawić się trochę w układanie różnych równań z tymi nowymi liczbami kreatywnymi i sprawdzanie, jak dobrze się w nich zachowują i czy prowadzą do jakichś ciekawych rozwiązań. Możesz też popróbować z jakimiś problemami, których wcześniej nie udawało Ci się rozwiązać, gdyż matematycy mówili Ci, że się nie da. Jestem ciekaw Twoich rozkmin. Jeśli znajdziesz jakiś błąd w moim rozumowaniu, skontaktuj się ze mną. Również chętnie o nim poczytam. Ciekawią mnie też możliwości przedstawienia tych nowych liczb za pomocą jakiejś geometrii.

Śledź uważnie moją stronę, bo może wkrótce powrócę do tego tematu i przedstawię jakieś nowe odkrycia z tym związane :-) A tym czasem do zobaczenia!

---

Możliwość komentowania wkrótce zostanie uruchomiona. Proszę o cierpliwość. Do tego czasu możesz przesłać mi maila z komentarzem, używając formularza kontaktowego.

Najnowsze artykuły

• Czy ludzie są jak tępe owce?
• Czy ułamki są potrzebne?
• Liczby kreatywne i dzielenie przez zero
• Książka Milo Wolffa o falowej budowie materii
• Geometria soczewek
• Kolorowa konspiracja
• Radykalny wstęp do obliczeń kwantowych
• Kwadraty i pierwiastki kwadratowe
• Równania kwadratowe

Najczęściej czytane

• Liczby kreatywne i dzielenie przez zero
• Kwadraty i pierwiastki kwadratowe
• Równania kwadratowe
• Książka Milo Wolffa o falowej budowie materii
• Kolorowa konspiracja
• Geometria soczewek
• Radykalny wstęp do obliczeń kwantowych